8 клас

До олімпіади залишилось 3 дні.  Розв'язуй задачі, готуйся до олімпіади.

 
Розв'язуй задачі, готуйся до олімпіади.

Розв'язуй задачі, підвищуй свій рейтинг у журналі дистанційного навчання 











Задачі на рух у рухомому середовищі

Рух по річці має свої особливості. Якщо катер, плавець пливуть за течією, то течія слугує їхнім помічником, вона прискорює рух. Якщо проти течії – то уповільнює рух.

Швидкість рух катера за течією дорівнює сумі власної швидкості катера і швидкості течії.

Швидкість рух катера проти течією дорівнює різниці власної швидкості катера і швидкості течії.

Ці особливості властиві не тільки руху по річці. Те ж саме маємо, наприклад, під час руху по ескалаторі. Якщо людина йде вниз по ескалатору, що спускається, то швидкість її руху дорівнює сумі її  власної швидкості і швидкості руху ескалатора. Ну а якщо комусь надумається йти вгору по ескалатору, що спускається, чи вниз по ескалатору, що піднімається, то його швидкість буде дорівнювати різниці його власної швидкості і швидкості руху ескалатора.

Подібну ситуацію маємо, якщо хтось, наприклад, зв’язковий йде в голову або хвіст рухомої колони. У першому випадку рух колони збільшує відстань, а від так і час, необхідний для попадання в голову колони. У другому випадку – зменшує.

Ту саму роль, що виконує течія під час руху по річці, грає вітер, наприклад при русі велосипеда чи вертольота. Він може як прискорити рух, так і загальмувати його.

У всіх вказаних ситуаціях рух тіла відбувається в рухомому середовищі. У даному пункті розглянемо задачі, де описується подібний рух.

Розв’язання цих завдань засноване на наступних правилах.

Якщо тіло рухається в середовищі з власною швидкістю Vb, а середовище рухається із швидкістю Vc, і якщо напрями руху тіла і середовища співпадають то фактично тіло рухається із швидкістю

Vt=Vb+Vc.

Якщо тіло рухається в середовищі з власною швидкістю Vb, а середовище рухається із швидкістю Vc, і якщо напрям руху тіла протилежний напряму руху середовища, то фактично тіло рухається із швидкістю

Vt=Vb-Vc.

Задача 1. Пліт і човен одночасно рушили на зустріч один одному по річці. Вони знаходяться на відстані 24 км один від одного. Через який час вони зустрінуться, якщо власна швидкість човна 8 км/год, а швидкість течії річки 2 км/год?

Аналізуємо. Зрозуміло, що пліт пливе за течією і його швидкість дорівнює швидкості течії. Човен пливе на зустріч плоту, відтак він рухається проти течії. Щоб знайти час, через який пліт і човен зустрінуться, потрібно відому відстань між ними поділити на швидкість зближення.

Розв’язуємо. Швидкість руху плоту дорівнює 2 км/год, а швидкість руху човна дорівнює різниці його власної швидкості і швидкості течії річки: 8-2=6 км/год.

Пліт і човен пливуть назустріч один одному, вони зближуються, швидкість їхнього зближення дорівнює сумі їхніх швидкостей: 6+2=8 км/год. Це означає, що відстань між ними зменшується за кожну годину на 8 км. До зустрічі їм належить пройти 24 км, отже, вони зустрінуться через 24:8=3 год.

Відповідь. Через 3 год.

1. Чому  дорівнює швидкість човна за течією?

2. Якби човен стояв, а пліт рухався, то через який час пліт підійшов би до місця знаходження човна?

3. На якій відстані один від одного будуть пліт і човен через 4 год після початку руху.

Як ми відзначали вище, так само розв’язуються і задачі, де рух відбувається не на річці, а на ескалаторі.

Задача 2. Пасажир метро, стоячи на сходинці ескалатора, піднімається вгору за 3 хв. За скільки хвилин він підніметься вгору по рухомому ескалатору, якщо йтиме із швидкістю 25 м/хв.? Довжина ескалатора 150 м.

Аналізуємо. Коли пасажир стоїть на сходинці ескалатора, що їде вгору, він піднімається із швидкістю ескалатора. Якщо пасажир йтиме вгору по ескалатору, що їде вгору, то швидкість його підйому дорівнюватиме сумі швидкостей руху ескалатора і пасажира. Знайшовши цю швидкість і знаючи відстань, яку йому належить подолати, - вона дорівнює довжині ескалатора, - можна буде знайти шуканий час.

Розв’язуємо. Оскільки 150 м (відстань, яка пасажирові належить подолати для підйому вгору) пасажир долає, стоячи на сходинці ескалатора, за 3 хв, то швидкість ескалатора дорівнює 150:3=50 м/хв.

Тоді швидкість пасажира, що піднімається вгору на рухомому ескалаторі, дорівнює 50+25=75 м/хв, тобто пасажир долає відстань в 150 м із швидкістю 75 м/хв. На це йому знадобиться час, що дорівнює 150:3=50 м/хв.

Відповідь. 2 хв.

1.  За скільки секунд пасажир підніметься вгору на рухомому ескалаторі, якщо він йтиме удвічі швидше?

2.  З якою швидкістю піднімався б вгору пасажир, якби на ескалаторі, що їде вгору, він намагався б йти проти руху ескалатора із швидкістю 25 м/хв.?

У попередніх задачах для їхнього розв’язання необхідно було виконувати, хоч і складні, але якісь обчислення. У наступному завданні досить буде скористатися розумінням правил знаходження швидкості руху за течією і швидкості руху проти течії. Самих швидкостей знаходити нам не доведеться.

Задача 3. Від пристані одночасно відправилися два катери, у яких однакова швидкість у стоячій воді. Один катер попрямував за течією, інший проти течії. В цей самий час від пристані відчалив пліт. Через 90 хвилин з плоту поступив сигнал «SOS» і пліт причалив до берега. Обидва катери відразу ж попрямували до плоту. Який катер прибуде на допомогу швидше?

Аналізуємо. У задачі порівняти час, необхідний катерам, щоб дістатися до плоту. Для цього досить порівняти відстані, які їм належить подолати, і швидкості.

Розв’язуємо. Швидкість катера в стоячій воді – це його власна швидкість. Той катер, який пливе за течією, за 90 хв пропливе більшу відстань, ніж за той самий час катер, що пливе проти течії, оскільки у нього більша швидкість руху. Але пліт рухається за течією. Тому до плоту обом катерам належить пройти однакові відстані.

Порівняємо їхні швидкості. Перший катер до плоту пливе проти течії (це у зворотній бік), а інший – за течією. Оскільки їхні власні швидкості однакові, то до плоту перший катер пливе з меншою швидкістю, ніж інший (під час руху проти течії від власної швидкості віднімається швидкість течії, а під час руху за течією до власної швидкості додається швидкість течії).

Отже, для надання допомоги плоту катерам потрібно проплисти однакові відстані, але з різними швидкостями. Тому першому катеру буде потрібно більший час. Швидше на допомогу прибуде другий катер.

Відповідь. Другий.

1. Якщо швидкість течії 2 км/год, а власна швидкість катерів 16 км/год, то яку відстань пропливуть пліт і кожен катер за 90 хв?

2. Якщо швидкість течії 2 км/год, а власна швидкість катерів 16 км/год, то якою буде відстань між плотом і кожним катером через 90 хв?

Перевір себе

1. Власна швидкість катера 30 км/год, швидкість течії річки 4 км/год. На скільки км більше пройде катер за 2 год проти течії, ніж пліт за течією?

А. На 26 км.          Б. На 44 км.        В. На 52 км.        Г. На 60 км.

2. Швидкість вітру 5 км/год, власна швидкість вертольота 100 км/год. На скільки більше км вертоліт пролетить за 2 год при попутному вітрі, ніж при зустрічному?

А. На 10 км.          Б. На 20 км.        В. На 30 км.        Г. На 40 км.

3. По річці, швидкість течії якої 1 км/год, плив за течією моторний човен з власною швидкістю 8 км/год. Байдарка  пливла по тій самій річці проти течії з власною швидкістю 4 км/год. Байдарка витратила на весь шлях утричі більше часу, ніж моторний човен. Яке судно пройшло більшу відстань?

А. Моторний човен. Б. Байдарка. В. Визначити неможливо. Г. Відстані однакові.

Розв’яжи сам

1.  Швидкість течії річки в 5 разів менша від власної швидкості катера. Знайдіть швидкість катера проти течії, якщо його швидкість за течією складає 18 км/год.

2.  Чоловік біжить за своїм капелюхом, який несе вітер із швидкістю 4 м/с. Через скільки секунд він наздожене капелюх, якщо зараз між ними 8 м, а швидкість цього чоловіка 6 м/с?

3.  Власна швидкість човна 9 км/год, а швидкість течії річки 3 км/год. Відстань між пристанями 24 км. Скільки часу витратить човен на шлях між пристанями «туди» і «назад»?

Відповіді на запитання до задач

Задача 1. 1) 10 км/год. 2) 12 год. 3) 8 км.

Задача 2. 1) 90 с. 2) 25м/хв.

Задача 3. 1) 3 км, 21 км, 27 км. 2) 24 км.

Відповіді на завдання «Перевір себе»

1	2	3
Б	Б	Г

Розв'язання і відповіді до завдань "Розв'яжи сам" напиши в коментарях

При підготовці матеріалів використано: 

Математика в дії/(Текст): Посібник для додаткового навчання з математики в5-6 класах/ Я.С.Бродський, О.Л.Павлов - Львів: Каменяр, 2013. - 172с.